[爆卦] 韓博士後宣稱解決移動沙發問題

jackliao1990 發表於 2024/12/7 上午10:08:43

看板Gossiping標題[爆卦] 韓博士後宣稱解決移動沙發問題作者

jackliao1990

(j)時間Dec 7 10:08:43 2024推噓24 推:27 噓:3 →:22

1966年奧地利裔加拿大數學家李奧·莫澤提出了移動沙發問題:
"能通過單位寬度的L形平面通道的剛性二維形狀的最大面積A是多少？"
https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Hammersley_sofa_animated.gif

這是生活中推沙發過走廊的二維理想化，最大面積A被稱為沙發常數。

1992年羅格斯大學的Gerver提出了由18條光滑曲線圍成的沙發，將A的下限增加到2.2195。2014年業餘數學家Philip Gibbs透過計算機找到一個跟Gerver沙發形狀幾乎相同的最優解，然而Gerver解的最優性仍需要數學上的嚴格證明。
https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Gerver.svg Gerver沙發

韓國首爾延世大學的博士後研究員白真言提交了他的博士論文，聲稱證明了Gerver沙發確為移動沙發問題的最佳解
https://arxiv.org/pdf/2411.19826

證明分三步驟:
1. 限制最大沙發的可能形狀
單調沙發：透過幾何和支持線分析，證明最大沙發形狀可被限制為「單調沙發」，即可以描述為由一系列支持走廊的交集構成的形狀。
平衡沙發：透過一系列的多邊形近似證明最大沙發的邊長在特定方向上具有平衡性，即平行邊的總邊長相等。
旋轉角度的限制：利用初等幾何和已有結果證明最大沙發的旋轉角度應為 π/2，即剛好能完成直角轉彎。
2. 注入性條件
沙發形狀的支持走廊內角的旋轉路徑應滿足以下條件：
路徑的速度在平行於支持線的方向上總為負（代表不會重疊）。
在垂直於支持線的方向上總為正（保證單調性）。
證明過程中引入了一個微分不等式，該不等式靈感來自Romik對Gerver沙發的局部優化條件分析。
該條件保證了內角運動路徑不會自相交，使得能使用Green定理計算封閉區域的面積。
3. 建立沙發面積的上界並證明Gerver沙發的全局最優性
沙發面積的上界：利用Brunn-Minkowski理論構造一個二次泛函Q(S)，該泛函滿足以下條件：
對於任何符合注入性條件的沙發形狀，其面積被 Q(S)嚴格上界。
對於Gerver沙發，Q(S)的值恰好等於其實際面積∣G∣=2.2195
全局最優性：利用Mamikon定理證明Q(S)在沙發形狀空間中是全局凹的。
結合局部優化條件，證明Gerver沙發是Q(S)的全局最大值，進而證明其面積最大化。