[問題] 不用微積分 如何算三角函數和對數

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高中畢業很久了，也學得很爛，但突然想到一些疑問

sin30度=0.5=1/2

而查表可以得知

sin1=0.0175
2=0.0349
...

這個表怎麼來的？好像是用微積分算的？

那麼在微積分以前，又怎麼算？用多邊形去切？

最常見的兩種三角形30-60-90、45-45-90

馬上就知道sin30、60、45度

sin15度做圖後得r6-r2/4（r代表根號）

22.5度則是r(2-r2)/2

但是sin0度=0，90度=1，就不可能畫成三角形……

用弧度座標是畫得出來，不過對應的角度怎麼換算？

如邊長3-4-5，3/5=sin約36.87度

5-12-13，約22.62度，5/13很接近剛剛22.5度那堆根號

但接著7-24-25、8-15-17……還有辦法畫圖算嗎？

用量角器來量角度，那麼這個工具的1度、2度如何用手工做出來？

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說到查表，就會想到對數表

對數有點抽象，沒有圖片，我根本搞不清楚這是幹嘛的，又背不起來

直到幾年後，我看見一種尺，他下端從左到右是1到10，上端是10到1

下端1到2的距離，會等於上端10到5

用10的對數來看，2-1=10-5（省略log）

意義就是1*2=2，5*2=10（對應上例要寫成除法形式）

古代天文家乘除會用到對數表，因為數字很大

我就覺得很奇怪，直接乘除不可以嗎？

那時候我覺得查對數表反而比較複雜，怎麼用就要想老半天

現在知道 根號10=10^0.5=3.162

根號10*根號10=10^(0.5+0.5)=3.162*3.162=10

查表先找3.162和0.5這組關係

然後就知道小數點要怎麼點了

上面提到的尺，尺的正中間就是3.162，即根號10

根號10到1的距離，等於10到根號10的距離（10的對數距離就是0.5）

那麼對數表是怎麼做出來的呢？

10^0.5是3.162

10^(1/4)就是3.162再開平方=1.778（即1.778的4次方=10）

10^(1/8)，10^(1/16)也同理

手算平方根有個小技巧，用(a+b)^2公式

根號10的平方根在3～4之間（9～16）

3加1個0變成30，10加2個0，變成1000

(30+1)^2=900+30+30+1=961<1000

(31+1)^2=961+31+31+1=1024>1000

所以在3.1～3.2之間 然後

(310+1)^2=96100+310+310+1=96721<100000

311+1=96721+311+311+1=97344
312+1=97344+312+312+1=97969
...

知道了10^0.5和10^0.25，10^0.75就是

10^(0.5+0.25)=3.162*1.778=約5.622

精確的10^0.75是5.623

如果我要計算10的0.333次方，即是10^(1/3)

1/3=約1/4+1/16+1/64=21/64=0.328

10^(1/4)*10^(1/16)*10^(1/64)

=1.778*1.154*1.036=2.125

可是精確的10^(1/3)是2.154

誤差實在是很大，看起來不能用

10的0.333次方，不如算10的立方根？

即2.154^3=10

然後用線性插值估計對數？

像這樣粗糙的表要怎麼用手工做出來？

1 0
2 0.301
3 0.477
4 0.602
5 0.698
6 0.778
7 0.845
8 0.903
9 0.954
10 1

不用微積分，對數表是怎麼做出來的？

畢竟對數大約比微積分早100年出現

別忘了另一個問題

不用微積分，sin的表是怎麼做出來的？

畢竟sin比微積分早2000年出現

這篇文章不知不覺就打了一堆=.=

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rce=10609-09.pdf&vlId=b83d500aaa6344b986b83d9c52d56f1e&nd=1&ds=1 按照這篇的做法，真數除以數個10^(2^-n)，然後把這幾個2^-n加起來，就是真數的對數 實際是這樣做嗎？

不知道是怎麼算的或畫的？ 從60度開始畫半角，30、15、7.5、3.75、1.875、0.9375度 最接近sin1度應該是0.9375度？不過wiki只有1.875度，那一堆根號真煩人 如果從正多邊形畫，感覺也很複雜，我還沒想通正五邊形怎麼得出sin36度 畫圖法有辦法求出比如44度43 42...這樣整數的嗎？ 勾股數可以拼成直角三角形，而且還是有理數，問題就會變成如何測量角度？

只記得簡單的微分和積分，複習sin的泰勒後，問題就變成為何sin微分是cos？ 然後就跑出一堆三角函數的公式和定義，每次看都覺得怪怪的 我比較喜歡看畫圖，這些公式畫得出來嗎？

自製對數表