Re: [問卦] 數學家怎麼漆油漆？

※ 引述《Superxixai (Lux sit)》之銘言：
: 一樣的牆壁一樣多的油漆。
: 工程師漆到一半，
: 才發現油漆不夠漆。
: 換物理學家來漆，
: 稍微算一下發現油漆不夠漆就沒漆惹。
: 接著換數學家上場，
: 數學家只在有理數點上油漆，
: 整面牆壁漆完，
: 油漆還剩很多。
: 數學家到底是怎麼漆油漆的？
: 有沒有相關的八卦？

南無阿彌陀佛。

因為有理點是可數的，可以用p_1、p_2、...表示牆壁上所有有理點，

現在某個數學家比原PO所述稍稍浪費一些油漆，他是這樣漆的：

以p_1為中心，半徑為0.01ε/2^1的圓內，全部用油漆塗滿，在此，x^y表示x的y次方。

以p_2為中心，半徑為0.01ε/2^2的圓內，全部用油漆塗滿。

以p_3為中心，半徑為0.01ε/2^3的圓內，全部用油漆塗滿。

以p_4為中心，半徑為0.01ε/2^4的圓內，全部用油漆塗滿。

...

那麼，數學家總共花了多少油漆呢？顯然不會超過以上所述諸圓的面積總和，也就是
頂多

π(0.01ε/2^1)^2 + π(0.01ε/2^2)^2 + π(0.01ε/2^3)^2 + ... < ε^2.

（上面這個無窮級數和很好算，就等比級數而已。）

注意數學家所塗諸圓蓋住所有有理數，所以若要把有理點塗滿，需要多少油漆呢？

不會超過ε^2～～～！！！

但剛剛是不是忘了先講ε是什麼鬼？喔，原來ε可以任意取嘛，取ε=0.01，就知道要
把有理點塗滿，需要不超過ε^2=0.0001單位的油漆，取ε=0.001，就知道要把有理點
塗滿，需要不超過ε^2=0.000001單位的油漆...

所以塗滿有理點到底需要多少油漆呢？只有一種可能的答案，就是0，因為只有0可以同
時小於等於0.001、0.000001、...

所以，原po說得沒錯，塗滿有理點，花的油漆量真的是0。

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