Re: [閒聊] 香港科大課堂題目：千瀧猜拳

※ 引述《ChikuwaM (翻譯竹輪)》之銘言：
: 如題
: 不知道有沒有人發過
: https://i.imgur.com/5AmfGHu.jpg

千束跟瀧奈(原文是用錦木跟井上 這邊我用名會比較清楚)想決定誰要清理房間
於是就用猜拳決定
基本規則我這邊就跳過了
但是千束有個特別的能力 也就是動態視力
當瀧奈要準備出石頭時 千束有60%的機率預測到瀧奈會出石頭
而當瀧奈要準備出布或剪刀時 千束有80%的機率可以預測瀧奈"不會"出石頭
(也就是有20%機率會發生 千束預測瀧奈出石頭 但瀧奈沒有出石頭)

因此 千束會採取只出布或剪刀之策略
當千束預測瀧奈會出石頭時 千束會出布
千束預測瀧奈不會出石頭時 千束會出剪刀
而瀧奈則不知道千束的策略 因此只會隨機從剪刀石頭布中選一個來出

(a) 假設瀧奈出了石頭 千束出布的機率為多少 60%
(b) 千束出剪刀的機率為多少 2/3
(c) 一把決勝負時 千束獲勝的機率為多少(若兩人出同樣的東西視為平手) 70%
(d) 一把決勝負時 瀧奈獲勝的機率為多少(若兩人出同樣的東西視為平手) 30%

若兩人平手 則會繼續猜拳直到分出勝負(解答可開燈觀看)

詳解(開燈觀看)

(a)
若瀧奈出了石頭 則分成兩個情況
(1) 千束預測正確: 60%機率出布
(2) 千束預測錯誤: 40%機率出剪刀
因此機率為60%
(b)
畫出分布圖 橫軸為瀧奈選擇 縱軸為千束選擇
| 石 | 布 | 剪
--------------------------------------------------
布 | (1/3)*(3/5) | (1/3)*(1/5) | (1/3)*(1/5)
--------------------------------------------------
剪 | (1/3)*(2/5) | (1/3)*(4/5) | (1/3)*(4/5)
因此千束出剪刀之機率為 2/15 + 4/15 + 4/15 = 10/15 = 2/3
(c)
根據上述分布圖
千束獲勝機率:(1/3)*(3/5) + (1/3)*(4/5) = 7/15
瀧奈獲勝機率:(1/3)*(2/5) + (1/3)*(1/5) = 3/15 = 1/5
平手機率:(1/3)*(1/5) + (1/3)*(4/5) = 5/15 = 1/3
因此千束一把決勝負 且平手繼續猜拳的狀況下
獲勝機率為
P =
(lim n->inf) 7/15 + (1/3) * (7/15) + (1/3)^2 * (7/15) + ... + (1/3)^n * (7/15)=> (2/3)P = (lim n->inf) 7/15 - (1/3)^(n+1) * (7/15) = 7/15
P = 7/10 = 70%
(d)
由於平手要一直猜拳直到分出勝負 因此最終結果只有千束或瀧奈獲勝
而由(c)可得千束獲勝機率為70%
因此瀧奈獲勝機率即為1-70% = 30%

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根據題目敘述 沒預測到應該就代表千束直接認為瀧奈不會出石頭了 所以千束就會直接出剪刀 畢竟第二條下面有說 80%千束會預測到瀧奈不會出石頭 另外20%則直接當作瀧奈會出石頭了 所以我是用這個邏輯去反推第一條40%的狀況 千束會直接當作瀧奈不會出石頭 因此出剪刀 所以答案應該是沒錯的