Re: [爆卦] 德國密碼學家宣稱自己摧毀了RSA加密法

※ 引述《rafe (Out of the hole)》之銘言：
: ※ 引述《jackliao1990 (j)》之銘言：
: : https://eprint.iacr.org/2021/232.pdf
: : 一般認為,我們要等到使用秀爾演算法的量子電腦普及後,RSA加密法才會被破解。然而: 本
: : 文宣稱透過晶格密碼學中的SVP法(尋找最接近向量)，即使使用傳統電腦，我們也有機: 會
: : 比二次篩選法和普通數域篩選法(已知最快的傳統因數分解演算法)更快完成分解。
: : 這篇論文目前還未通過同行評審。GitHub上已經有人實作文中的算法,但是沒人成功。: 也
: : 有人指出論文中的可能漏洞:文中"將整數的指數加倍"這操作在過去被認為需要指數時: 間
: : ，但作者卻"證明"這需要多項式時間。這表示:過去被認為屬於NP問題的操作，被本文: 證
: : 明屬於P，這樣豈不就證明P=NP了?(然而質因數分解從沒被證明是NP完全問題)
: 解說一下什麼是P=NP
: P的意思是polynomial，也就是線性或多項式，NP則指非線性或是指數。
: 這倆個詞是形容問題的複雜度，以玩遊戲來舉例，
: 例如說打隻狼破關，你花的時間大致上是線性的，
: 如果增加魔王，或是出了dlc你大概只要多花幾個小時就能破關。
: 而NP問題就像是要挑戰無傷破關，你要不斷全破好幾次去熟悉魔王，找出最佳的路徑，道: 具
: 跟策略。加一個頭目或dlc，代表的是好幾天，幾個月或幾年的訓練。
: 作者證明RSA可被破解，就像是說他找到了方法可以無傷忍殺掉所有魔王，
: 讓打倒魔王花的時間變成線性，不論加了多少頭目玩家都只要多花幾個小時就能無傷通關: ，
: 隻狼變成手遊難度，是完全的平衡破壞者。
: 而證明P=NP就比較像是哲學問題，簡單來講就是對於這世上所有的困難問題，
: 能不能證明他們都存在一個簡單的解法，
: 就像是說不止是隻狼，世上所有的遊戲都存在類似的秘技可以無傷通關，只是還沒被發現: 而已。
: 衍生來說可以說證明了P=NP，就等於是證明了世上存在著某種真理一樣。

前面推文也有提到這件事
NP [1] 是指 non-deterministic polynomial time 並非 non-polynomial time
意思是能夠用非確定性圖靈機在多項式時間內解決的問題
現在常用的等價敘述是能夠在多項式時間內驗證是正確的問題
而 EXPTIME [2] 這個指的才是指數時間

雖然前面兩篇文及推文一直不斷提到 P=NP
然而我認為這篇論文與 P/NP問題 [3] 並沒有太大的相關性
理由如下：

1. 該論文所描述的演算法有 heuristic 及 randomized 的部分
heuristic 的部分 worst case 依然是指數時間
而 randomized 也不在 P/NP 討論的範圍
（我只有大略掃過該論文，並不是很確定我有沒有理解錯誤）

2. 質因數分解本來就不是 NP-hard 的問題（除非 NP=coNP）
所以即使質因數分解存在多項式時間的演算法
那也無法用來證明 P=NP
只能說明人類已知的 P 問題又變多了
類似的事件已經發生過不少次了
例如 線性規劃 [4] 及質數測試 [5]

關於質因數分解在計算理論一些最近的結果
目前有人證明質因數分解可以 randomized reduce 到 PPA [6] 和 PWPP [7] 的交集
而且如果 廣義黎曼猜想 [8] 是對的
那就能證明質因數分解真的在 PPA 和 PWPP 的交集裡 [7:1]
這兩者的複雜度都是比 NP-complete 還簡單的（除非 NP=coNP）

另外 SVP 和一些相關問題的複雜度也有人證明是在 PPP [6:1][9]
只不過有些是 Cook reduction [9:1]
所以這些還不能保證真的在 PPP

我想講的大概就這些
提供一些計算理論的觀點

[1] NP: https://en.wikipedia.org/wiki/NP_(complexity)
[2] EXPTIME: https://en.wikipedia.org/wiki/EXPTIME
[3] P/NP問題: https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem
[4] 線性規劃: https://doi.org/10.1016/0196-6774(80)90002-4
[5] 質數測試: https://www.jstor.org/stable/3597229
[6] PPA, PPP: https://doi.org/10.1016/S0022-0000(05)80063-7
[7] Factoring Complexity: https://doi.org/10.1016/j.jcss.2015.08.001
[8] 廣義黎曼猜想: https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis[9] SVP Complexity, Cook reduction: https://arxiv.org/abs/1808.06407

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