Re: [Holo] 線性代數是INA學生時期的夢魘

※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言：
: 線性代數造成了Ina的PTSD
: Link: https://youtu.be/p5ud5ZmjSA8
: 線性代數對INA的學生時代造成嚴重的精神創傷
: https://i.imgur.com/eoSfEGc.jpg

既然同時提到微積分和線性代數，我也來分享一下學習心得吧

首先，微積分裡的內容，我個人覺得比較注重數學的運算技巧
然後積分的部分，需要記熟一些常見的積分技巧和結果
這樣在台大or交大的微積分大會考，才比較能夠穩定+快速想到方向和解法

但線性代數，我個人覺得它用的解題方式，比微積分還要少很多
但是很注重每一個主題的概念和它想法的insight是什麼
如果是用理工科用的線性代數，很多教授其實還是大多都在講跟矩陣運算相關的部分
(當然大多那個選取的field都會有R和C上的)

但如果你是用像是Friedberg的Linear Algebra，那會比較需要抽象思考和做證明的方法以及概念，才能應付裡面的內容

如果你用的textbook比較注重矩陣的運算和線性代數的應用上(像是大多數非數學系用的)那個雖然偶爾在碰到vector space、orthogonality、inner product space裡面的內容
會覺得比較抽象，不太好了解以外
其他部分其實可以用偏高中數學的方式去學習
而理工科的教授考試，即使考證明題，也比較像是推導公式這種像是計算的延伸
其實不會過於抽象和難以應付 我個人覺得其實還好

但如果是Friedberg那種的，我覺得你要很有能讀數學系的素養和能力
才會看得懂他在做什麼 不然你從高中上來 看他的證明 會發現有不少沒學過的東西
更不用說它是直接用(抽象的)vector space + linear transformation的觀點
去建構線性代數的結果

我個人認為要能通像是Friedberg，甚至是Hoffman的線性代數 最好有一點
Abstract Algebra(代數學)的知識和基礎會比較好

至於微積分呢...
我認為大多數理工科都是在考運算技巧就是了... 其實這我也同意剛學時
應付考試最好的方法就是刷題
(不過前提就是，你要大約對微積分的極限是什麼有點粗淺的感覺，這樣才不會看到
一堆推導和解題技巧，不知道怎麼把這兩個接起來)

而我覺得初微的多變數微積分寫的觀念不甚清楚
但這不能怪這些寫初微教科書的作者...

因為很多概念，我認為沒有學過高微的知識
不太容易了解為什麼會有那些現象和結果就是了...

而要針對代數學和高微做補足的理工科學生(非數學系)

我推薦:
1. A First Course in Abstract Algebra
(https://www.amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-7th/dp/0201763907)

2. contemporary abstract algebra
(https://www.amazon.com/Contemporary-Abstract-Algebra-Joseph-Gallian/
dp/1133599702)

3. An Introduction to Analysis
(https://www.amazon.com/Introduction-Analysis-4th-William-Wade/dp/0132296381)

1、2是代數學的，3是高微的

總之，個人認為
線代難的點是觀念沒學過，微積分難的點是那些運算技巧不熟

以前我也看過有人線代和代數學很厲害都98分
但微積分和高微只有60左右的數學系學生

所以哪個比較難? 我覺得看個人長處

我自己看高微大約會覺得比較難 因為很多混合First-Order Logic的epsilon-delta敘述和不等式夾雜的東西，以前沒處理過不熟

又混了一個新的Topology和那些的證明和結果不熟
我目前還找不到有哪本高微教科書
可以讀起來和我提到的1、2那些淺顯易懂 + 用高中數學的概念就可以處理的

而Wade那本我覺得是相對容易讀懂的高微課本了
(其實最近也有考慮陶哲軒寫的分析，但因為沒細讀，我不敢說好不好懂...)

--

我只能說高中數學和大學數學最大的差別就是: 你能不能從一個作者想要講的一個big picture和他的思考邏輯和哲學出發? 然後了解他推導的方式和理由是什麼? 以及他現在講的東西他的idea和哲學是什麼? 如果沒有用這種方式學，大學數學很容易學不起來...

原來如此 難怪我覺得微積分(非數學系)的教學和考題 跟高中數甲/數A調調很像

我猜他可能其實在上這本:

這本我當初大學翻過去的印象是，我沒辦法讀得很順暢XDDDD 我自己文章那2本，至少前面都還可以很順~~

我只知道有一次我拿Rudin的 Principles of Mathematical Analysis 看到Chapter 1的Appendix在弄 Dedekind Cut 因為我已經自己讀過一點代數學了 我馬上就看出他在弄Coset、Quotient Group那種類型的東西 如果我沒讀代數學 大約不清楚他為什麼要用集合來表示實數 我個人是覺得Rudin/Apostol的數學分析弄的證明 沒有一些觀念和background 不知道他到底為什麼要做那些... 不過台灣前面的數學系都會用...

這個我就不知道了... 但我知道即使你用工數會用的分離係數法找出來的過程也許有問題 但是在初始值問題有Existence and Uniqueness Theorem 你找出來 代進去是對了 那就會是那個了XD

我個人覺得比代數還難 我想可能是因為: 1. 卡在拓樸學是新的概念 + 需要建構很多證明 2. 大多數學生的證明能力不夠成熟 3. 對epsilon-delta敘述的了解 3可能是最嚴重的 因為需要對First-Order Logic的語言和證明的使用很熟 而且它和原先直觀的極限的關聯 一開始很可能看不出有什麼關係

這個我想卡住的點應該是像這樣: xy' = 2y => y'/y = 2/x => ln |y| = 2ln |x| + ln C => |y| = C |x|^2 = Cx^2 然後代y(-1) = 1進去 => 1 = C => y = x^2 然後就y(1) = 1 不是2 => ??? 怎麼沒有解 實際上問題在於那個C，在x為正和為負是不同一個，所以應該要 ln |y| = 2 ln |x| + ln C1 => |y| = C1 x^2 y(-1) = 1 => C1 = 1 => |y| = x^2 => y = x^2 (這樣才符合這個初始條件) ln |y| = 2 ln |x| + ln C2 => |y| = C2 x^2 y(1) =2 => C2 = 2 => |y| = 2x^2 => y = 2x^2 (這樣才符合這個初始條件) 所以這個解應該是個分段函數: y = x^2, x≦0 2x^2, x≧0