Re: [問卦] 自然數之和=-12分之1 是詭辯還是悖論

※ 引述《superRKO (挖洗RKO)》之銘言：
: 乳題
: 1+2+3+….無窮=-12分之一
: 阿問題是1+2就已經>-12分之1了，後面全加怎麼可能等於
: 還有啥混亂源頭，換成1-1+1-1+1…..=2分之1，根本扯蛋，
: 答案只會是0 or 1還跟你平均，而且無窮級數沒有收束
: 既然1-1+1這個不合理，那後面各種化簡、分解也沒意義啊
: 怎麼會導出=-12分之1
: 這是詭辯還是悖論？ 還是這是物理學家得出的最佳解？

南無阿彌陀佛。

其實1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2也沒有那麼扯啦，這個叫做Cesaro sum。

我們以S_n表示數列前n項的和。

若

S_1 + S_2 + ... + S_n
-----------------------
n

在n趨近於無窮大時會收斂，則收斂到的值就被稱為數列的Cesaro sum。

還有另外一種東西叫做Abel sum。以a_n表示數列的第n項，則若

a_0 + a_1 x + a_2 x平方 + a_3 x三次方 + ...

在x從左邊趨近於1時會收斂，則收斂到的值就被稱為數列的Abel sum。

我們在微積分課程學到的那種無窮級數和叫做classical sum。

數學分析告訴我們：Cesaro sum推廣了classical sum，Abel sum推廣了Cesaro sum。

什麼意思呢？就是說一個數列若會收斂（即有classical sum），則該數列也會有
Cesaro sum，且其值與classical sum相同。又若一數列有Cesaro sum，則該數列
也會有Abel sum，且其值與Cesaro sum相同。

原PO說的1、-1、1、-1、...這種數列，是一個沒有classical sum，但有Cesaro sum
的例子，其Cesaro sum為1 / 2，因為Abel sum推廣Cesaro sum，當然也就知道Abel
sum也等於1 / 2囉。

簡便寫法：

1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2 (Cesaro) （括號裡的字是說考慮Cesaro sum）

1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2 (Abel) （括號裡的字是說考慮Abel sum）

南無阿彌陀佛。

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