[討論] 看動畫學數學 關於本季最好看的數學番-費

這季的25夏番

有部與數學極其相關一部番實在深得我心

甚至到了把原作補了的程度(目前看到第三卷)

這部番 不停的強調數學的重要

以及從數字的角度去思考推理進而實用

同時故事緊張刺激 畫面也好看

且剛好題材又很對我的胃口

那這部番就是 費式數列的愛好者--沉默魔女的秘密!!!!

費氏數列出自義大利的數學家 費波那契

而這個也應該是絕大多數人在高中一年級上"數列與級數"這個章節都會聽過的數列

先抓定兩個基礎值 大多都是
a_1 = 1
a_2 = 1
接著再定義
a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n>2)

清楚來說就是
a_1 = 1 a_2 = 1
a_3 = 2 a_4 = 3
a_5 = 5 a_6 = 8
a_7 = 13 a_8 = 21
.....
如此以此類推

在大家的高中時期 多數教材都會以此作為"遞迴關係式"的特別範例

藉此來提到

a_1 = 1
a_n = a_(n-1) + 2n + 1

接著觀察數列

1.算出前幾項 a_2 , a_3 , a_4
2."猜測"一般項 a_n = ?
最後再
3.透過"數學歸納法"去證明剛剛所猜測的一般項為真

來達成關於數學歸納法一整個教學內容的進行

不過教學過程中作為引路的費氏數列通常也就止步於此 並不會有太深的著墨

然而在"沉默魔女的秘密"中 從費式數列衍伸而出"山姆大叔的豬之歌"
https://www.youtube.com/watch?v=4QH27oYA6IA (這也是寫這篇文的BGM)

之所以被莫莫莫莫妮卡稱為"很美麗的數列之歌"也是其來有自
https://imgur.com/ziYj9Cx.jpg

歌詞如下
1年目の冬 1匹売られ
2年目の冬 1匹売られ
3年目の冬 2匹売られ
4年目の冬 3匹売られ
5年目の冬 5匹売られた
ガラガラ ガラガラ 車輪の音に
ブーブー ブーブー ブタが鳴く
6年目が 8匹ならば
10年目の冬 売られたブタは
さて 何匹
「ご～じゅごひき～(￣▽￣)」

第一年的冬天 賣了一頭豬
第二年的冬天 賣了一頭豬
第三年的冬天 賣了兩頭豬
第四年的冬天 賣了三頭豬
第五年的冬天 賣了五頭豬

其數字正好對應到的就是費式數列的規律

不過 其實呢

用"賣豬"不是一個好的形容方式

不如用"有幾對豬"或許更能激起想像

先設立前提 每對幼豬一年後會長成成豬
而每對成豬 每年都會產下一對幼豬 且豬豬不死

這麼一來假設山姆大叔在

第一年擁有一對幼豬 共一對豬
第二年擁有一對成豬 共一對豬
第三年擁有一對成豬 與一對剛誕生的幼豬 共兩對豬
第四年擁有兩對成豬 與一對剛誕生的幼豬 共三對豬
第五年擁有三對成豬 與兩對剛誕生的幼豬 共五對豬
第六年擁有五對成豬 與三對剛誕生的幼豬 共八對豬

.....以此類推 這樣或許更能對豬豬的增加有明確的想像
(當然 只要稍加了解的人都會知道這是最早描述兔子生長數目的方式)

然而這個數列更美妙的地方在於越往後延伸

兩個數字間的前後項比值會越來越趨近於黃金比例

意即 1+√5
φ= ------ =1.618033....
2

要用複雜的證明當然也行 不過其實也可以用圖形來表示
https://imgur.com/hGLsImv.jpg

當數字越來越大 此圖形會逐漸延伸到更趨於"完美的長方形"

若將該圖形的各個交點依次平滑的連接起來

最終可得到自然界中美妙的螺線
https://imgur.com/oUDtlOL.jpg

而費式數列的精妙也不止於此

高中生最厭惡的單元 問10個人可能有11會回答是排列組合 (我是第12個人)

其中在排列組合中 提到二項式定理時必然會提到的"巴斯卡三角形"其實也藏有費式數列

若將巴斯卡三角形展開來寫

沿著固定的斜率可以切出數條數字

其每一條的數字總和依序排列很巧合的也正好就是費式數列 如下圖所示
https://imgur.com/IJVd6u7.jpg

所以費式數列真的會神奇的出現在各種地方呢

另外稍加延伸也可以提到費式數列的一般式

先定義a_1 = 1 , a_2 = 1

1 1+√5 1-√5
則a_n = --- x [(-------)^n - (-------)^n]
√5 2 2

若仔細觀察亦可發現當中也蘊含黃金比例的因子

真不饋為莫莫莫莫妮卡相當喜愛的數列阿!!

最後撇除掉一堆複雜的計算與理論

單純找規律也可以從中找到一些簡單的性質喔!!

像是數列必定是 奇奇偶奇奇偶奇奇偶這樣的規律運作

或是a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_n = a_(n+2) -1 這樣神奇的規律

實在是相當有趣且美麗呢

當然若提到相關延伸的數論與變化 會有數不清的內容可以討論

但就明顯超出科普的範圍了

沒想到吧 山姆大叔的豬其實蘊含著這麼深的哲理呢

莫妮卡真有眼光!! 沉默魔女好看!!

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https://imgur.com/r8P0qbu.jpg

你跟我說這個 我有什麼辦法

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.170.137.39 (臺灣)

大學幾年級教的這個問題沒有標準答案 除非是微積分這類基礎學科的多科系共同授課以外 不然其實很多東西都是視那門課的教授而定 尤其數學系教授都很隨興...

※ 編輯: zax8419 (1.170.137.39 臺灣), 09/21/2025 00:34:17