Re: [問卦] 數學只有一種嗎？

剛好看到某個無知的貨色在那狂扯：

https://www.ptt.cc/Gossiping/M.1641050540.A.A63

: 大家可以理智思考，
: 假設有個人不懂數學然後數學考試答案全錯考零分，
: 這個人卻說：
: 「
: 傳統數學比較低級的數學，
: 我會的數學是更高級、更偉大的數學，
: 所以我寫的答案才對，
: 傳統數學錯誤。
: 」

: 大家認為這種說法合理嗎？

其實答案還真是合理！
當然，也並不叫作合理，畢竟對於單細胞腦袋來說，要理解
「甲既合理，乙也合理，可是深度不同，出發點不同」
似乎是太難了。

這裡就舉個例子：什麼是數。

什麼是數？啊不就1，2，3……？
但問題是這又是什麼？
怎樣才能給出一個更「原子式」的定義？

定義數，通常還是從自然數出發，自然數的出發點可以說是1。而懷德海與羅素在《數
學原理》（Principia Mathematica）中，把數字 1 定義爲「所有單位類所構成的類」
（the class of all unit classes）。針對這一類邏輯主義式的定義，Henri Poincaré 酸說：「這眞是個了不起的定義，適合拿去教那些從未聽說過數目字 1 的人， 好讓
他們對這數字有個概念。」（ (c'est une) définition éminemment propre à
donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu
parler. H. Poincaré, 'Les Mathématiques et la Logiques'）

https://i.imgur.com/49MpOs9.jpg

在ZFC的集合論體系下，可以對自然數提出這樣的定義：

0 = {} （空集合）
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
......
（這裡面預設了一些東西，就不多說了。）

這種「數」的定義，一般人也未必好理解吧？
你跟你的小學老師說 2 + 3 = 0 的後繼的後繼再後推三次後繼？

再舉個例。如何定義「正弦（sinus）函數」？

一個初等的定義法是，sin θ = y/r，其中θ爲一直角坐標系上xOy的一個象限角，r爲
該點至原點的距離。

這是符合幾何直覺的初等定義法沒錯。但，是否可以有其他定義？

如果直接定義 sin z = z - z^3/3! + z^5/5! - + - + ......
這樣用一個無窮級數來定義呢？

其實也是可以。而且只要邏輯上自洽，大可反過來用這個定義來說他等價於那源自幾何
直觀的定義。雖說這個定義很不親初學者（但也要看是哪類的初學者，有的初學者反正
初等幾何就是沒學好，直接從級數出發還簡單些），但總之說得通。

可是等等，這個級數定義，預設了對收斂發散的理解，預設了好多基礎知識不是嗎？但
這沒關係。反正這也只是「假名爲sinus」，因爲在某些高等的立場，用級數定義更方便處理解析等關係，那就不用糾結在他的幾何直觀上。當然，確實還是可以繞一圈回來證
明此二定義在某種意義上是等價的（雖說幾何直觀無法定義一般複數 z 之下的 sin z），那又得費工夫了。

像這一類擴充的定義可多得是。小時候老師會教你任何數不能除以0，但長大了你會知道其實在極限意義下某些情況可視作黎曼球面的一個點。小時候跟你講函數是一對一或多
對一，但其實函數也可以一對多（多值），或者只看局部對應關係。

大概只有無知卻狂妄的傢伙，才會單純到覺得「數學」只有一種吧？
（當然，各式數學框架下，仍然有其相通的核心理念。也就是從畢達哥拉斯到柏拉圖到
笛卡兒所累積建構起來的模式。但即便是核心理念相通，構造出來的東西也可以南轅北
轍。）

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Looked at from afar, appears to be hopelessly wrong may contain
excellent ingredients and that its excellence may remain unrevealed
to those guided by strict methodological rules. Always remember that
my examples do not criticize science; they criticize those who want
to subject it to their simpleminded rules ……
Paul Feyerabend

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Leopold Kronecker 的名言： Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. 不過，在直覺主義的意義下，無理數乃至之後的理解都會很困擾呢！ （當然也未必不可以，就是很費工。）

你的回應才是沒看懂我在說啥的交白卷吧？ 我就是要指出他太過簡化的單線發展論啊。

神奇的選擇公理！