[心得] 效用函數-1-了解你自己

Blog post:
https://daze68.blogspot.com/2021/03/1-utility-function-1-know-thyself.html

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對大部分的人來說，賠一萬元的痛苦超過多賺一萬元的滿足
或者說，大部分的人是風險趨避(risk aversion)的
經濟學家用效用函數(Utility function)來描述這件事

然而每個人的風險趨避程度不盡相同
而了解你自己在財務規劃上是很重要的
我們可以試著估計自己的風險趨避程度

一個學術上常用的效用函數模型是 Isoelastic utility function
u(c)= (c^(1-η) - 1 )/(1-η) if η >= 0, η!= 1
u(c) = ln(c) if η=1
舉例來說，若η=1，財產加倍(c=2)的滿足相當於財產減半(c=0.5)的痛苦
(c是指consumption，學術上要把消費對時間積分，把財產當作消費使用是種簡化)

All models are wrong, but some are useful.
Isoelastic utility function 有其優點與缺點，缺點的部分日後再談
不妨先暫且接受此一模型並試著估計自己的相對風險趨避係數η (讀作ee-ta)

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想像你今天中了10億威力彩
在領獎前，彩券公司說，你可以選擇是否玩一個遊戲

擲一個公正硬幣
如果是正面，獎金加倍
如果是背面，獎金減少 n%

n是多少，你才願意接受這個遊戲?

if n=100 => η=0，風險中立
if n=50 => η=1，Log utility function
if n=33.3 => η=2

我們可以查閱下表得到η的近似值
舉例來說，如果你的n=25，則你的η就大約落在2.9跟3之間
得到自己的相對風險趨避係數η之後，後續可以嘗試一些實際應用

表: https://tinyurl.com/7nsh4tc

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有興趣的朋友也可以試著自行求解
2^(1-η) + ((100-n)/100)^(1-η)==2, solve η

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You got to know when to hold 'em, know when to fold 'em, Know when to walk away and know when to run.
You never count your money when you're sittin' at the table. There'll be time enough for countin' when the dealin's done.

'Cause ev'ry hand's a winner and ev'ry hand's a loser, And the best that you can hope for is to die in your sleep."
now Ev'ry gambler knows that the secret to survivin' Is knowin' what to throw away and knowing what to keep.

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效用函數本身就隱含邊際效益遞減 如果你問的是，從10億元獎金開始或從100億元獎金開始 你選的n會不同 那代表你的效用函數不是 Isoelastic utility Isoelastic utility 的特性是 constant relative risk aversion ( 其實大部分人都不是，但 All models are wrong, but some are useful. ) 我的猜測是對大部分人 當獎金落在預期退休金額附近時n可能會有較大變化 換句話說，換算出的η會更不穩定 所以一開始選了10億這個超過大多數人預期退休金額的數字 不妨 Roughly 估計一個η，或者挑個上下界 然後觀察一下從中得到的推論你認為合不合理 估計一個自己的η固然是「了解你自己」 發現這一套完全不適用也未嘗不是「了解你自己」 我改天應該會寫一篇關於 Isoelastic utility 的一些限制

有一點是如果金額較小 這個敘述方式會受現有資產的影響 所謂賭的金額越小，n可以越大 可能是方程式改變了而不是eta改變了 比如原有一千萬的資產，而獎金只有一百萬 選擇n=50 實際方程式是 (1.091^(1-η)-1)/(1-η)+(0.955^(1-η)-1)/(1-η)==0 解出來的η大約是10.9，而不是1 對應η=1的n，大約是91.7 大多數人的η應該還是會受到描述的金額多寡影響 不過η的實際變化可能沒有像n的變化那麼劇烈