Re: [閒聊] 凱利公式(1)

不才忝為四大資工金融雙碩士

或許有一點能力來解釋這問題

投資沒有聖杯 要看清理論的一些洞才能避免一些不必要的投資傷害

深夜看盤也有點無聊 就來回一下這篇

先說結論就是凱利公式是一種投資資金管理的方式

可以提供投資資金的最大上限

又這方法的假設在於連續 因此需要密集調整部位進出場

有過度交易的傾向 過度交易在財務心理學上被認為是人性一大罩門

再者 這方法只提供安全比例上限 很多時候是太寬鬆的值 實際上應該更為保守

雖然理論上保證不會輸光 但不保證賺錢 而且效果要in the long run

才會出現 凱利公式傳教士 Thorp 自己做了模擬

當市場標準差增加了一倍 就要花158年的交易才有95%的信心勝過其他交易手段

Thorp (2006)

而且遇到長時間的下跌 如2018的幣市 要能嚴格遵照設定的return去進出場 是非常煎熬的

買在高點最大回徹達到八成的話 大概只有機器才受的了

另外原po證明結果有點詭異 而且原始的凱利公式也不適合用在投資市場

比較適合在賭場或是樂透使用 需要修改

原始的證明是這樣 :

假設 原先有1元 每次都投資一個比例k, 0 < k <= 1

獲勝機率為w 可獲得 k * r 元 , 所以贏一次 戶頭變成1 + kr

若輸了 失敗機率1 - w

投資金額k 全部沒收 ----> 這邊就是原始問題不適合在股票類投資市場的原因
因為除了下市 股價不會歸零 下市機率跟虧損不同

所以當投資了 n 次之後 可以得到期望值 勝了 wn 次 輸掉 (1-w)n 次

此時財富為 F = (1 + kr)^wn * (1 - k)^(1 - w)n -----------> 這邊就是一個現實面有問題的假設 因為他只算了有幾次輸掉 有幾次贏了
沒有分辨連續性輸錢 也就是說 你遭遇熊市 進場就跌 連輸wn場
就算跌掉 99.99999%資產 還是可以東山再起 理論上可行 實際上不可行

我們可以取log 之後對 k 微分 = 0

log(F) = wn * log(1 + kr ) + (1 - w)n * log(1 - k)

(wnr) / (1 + kr) - ((1 - w)n) / (1 - k) = 0

k = ((1 + r) * w - 1) / r ------ (1)

好讀版可以看 https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion

剛剛說過了 因為股票市場不可能輸了就喪失全部本金 所以公式是要修正的

F = (1 + kr)^wn * (1 - ks)^w'n * 1^(1 - w - w')n

這邊的s 表示說 輸了表示損失了一定比例s, 其機率w' 比如投資 k 大跌三成出場

因此損失0.3k, 0.3就是s

然後還有不在出場條件的 繼續hold 所以沒有財產增減

用同樣的方式取log 微分 = 0

log(F) = wn * log(1 + kr ) + w'n * log(1 - ks) + 0

可以得到修正公式

k = w/s(w + w') - w'/r(w + w') ------- (2)

當輸了就損失全部時 s = 1, w' = 1 - w 此時公式退化成 (1)式

這凱利公式有甚麼問題呢

當s = r , s->0 時 k = (w - w') / r(w + w')

表示投報率跟損失相近且很小或是平盤(w, w'均小) 這公式會要你槓桿全開

大牛市 r >> s 槓桿大作多

大熊市 r << s, k < 0 槓桿大放空

所以這東西容易帶來過度積極交易的結果

另外 w, s, r 其實不是由看盤的時價去算出來的

大部分是用portfolio加上交易策略的過去實績去算的

對缺乏相關知識的人實用性有限

風險跟部位管理一般會用VaR

如果是投資組合 一般更建議用core-satellite 的方式去操作

最適合一般人的基本粗糙方式

比如有一個大的低風險部位 幾乎確定本年度投報率五趴

則先預支五趴以內作為風險投資之用 如此更為穩健

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稍微修正下 被一篇技術報告害到orz 明天寫信去電他