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Re: [閒聊] 日本中學生數學這麼難的嗎?

看板C_Chat標題Re: [閒聊] 日本中學生數學這麼難的嗎?作者
cmrafsts
(喵喵)
時間推噓16 推:16 噓:0 →:20

※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言:
: ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言:
: : 推 CATALYST0001: substitution高中有教吧?還是那是我以前補習班才 03/06 23:39
: : 沒有。我只在很舊的高職工程數學上看過。
: : → CATALYST0001: 有學到?反而是ln 跟e不曉得為什麼不教 03/06 23:39
: : 我也覺得該教,但實際上一教下去就會牽出一大串東西。
: : 最舒適的流程應該是用積分定義 ln,證明他滿足對數律就可以說明他是一種 log。: : 然後帶出他的底數 e,定下自然對數底這個稱呼。
: : 畢竟常用的兩個極限定義都……很奇怪啊。
: : (1+1/n)^n 還可以用複利,Σ1/n! 要從無窮級數的積下手來談吔。
: 只是要教 (1) e 常數的定義 和 (2) 對應的指數函數不難啦
: 問題在教了要幹嘛?
: 教會學生怎麼對 1/x 積分?
: x
: ln x = ∫du/u 這個定義是證明起來方便,但動機看起來超奇怪
: 1
: 你沒事定義一個這樣的函數幹嘛?打手槍?
: 比較易懂的做法是
: 1. 定義常數 e
: 2. 定義 lnx 為指數函數的 e^x (簡單的說就只是某個特別的對數函數)
: 3. 透過反函數的微分性質去得出對 lnx 微分會得到 1/x
: 但第三步會得要先得到 「對e^x微分會等於e^x」
: 這實際上也才是為什麼 e 重要
: 但是啊,你怎麼突然會關心起「微分變成自己的東西」?
: 這答案很標準,就是微分方程,比如 y'(x) = ay(x)
: 微方可以說是人類科學發展過程中數一數二重要的里程碑
: 不過我們高中教育從來沒有想要把微方的概念代入教材裡面
: 而如果跳過這些,純粹就告訴學生「幹 別管有啥用,給我全部接受、算就對了」
: 這很容易造就一堆覺得莫名其妙、然後什麼都沒學會的學生

先教積分在教微分的方法多見於一些數學系才會用的教材,其便利之處在於處理積分比

處理微分更容易。所有數學系畢業的人都知道Lebesgue定理,但是知道絕對連續隱含微分

幾乎處處存在且微積分基本定理成立的人是為數不多的存在。在指對數函數這邊會寫出

的事情是,用1/x的定積分定義log(x)讓你直接得到log和其反函數都無窮可微,但是先寫

出指數函數時你必須要了解他是一個連續甚至可微的函數,那就得動手算一些極限,衍生

出是要算下去讓課堂變無聊還是要跳過去讓學生變得迷惑的兩難。


另一方面,你寫出的微分方程固然可以用瞪出一個解和存在唯一定理解,但是其正規解法

難道不是分離變數後變成a/y對y積分並取反函數嗎?這也給出一個為什麼要會算這個積分

的敘事。在純數學裡,1/x的積分是重要的積分,log函數也是偉大的函數。用途和趣味性

不見得會輸給指數函數,只是生不出剛學微積分的人能理解的動機而已。

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(如果你是一座島的島主 那這座島上最重要的守則是什麼?)

"每位滿20歲的國民都要會Galois theory"

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zax841903/07 03:35這個很有說服力 不過你瞪出解的程度不是一般人能做到的阿

xanxus2703/07 03:36我大學修過後就不想碰了 請不要喚醒我記憶(頭痛

aarzbrv03/07 03:57看到幾乎實在心癢癢很想知道例外的函數的密度(嘖嘖)…

aarzbrv03/07 03:59(先教積分也是為延後無窮大小這個教師債務吧?XD)

dzwei03/07 04:17正規的教法是 極限-連續-微分-微積分基本定理-積分,然後是

dzwei03/07 04:17partal 微分,多重積分,這樣差不多就理工類兩學期了,剩下

dzwei03/07 04:17的丟給工數。其實微積分這種拋棄舊的數學思想蠻好玩的

aarzbrv03/07 04:43忘了以前哪篇心得文看過美國好像有大學是要求教師避開以

aarzbrv03/07 04:44(ε, δ)定義函數的極限,如果遇到上位者如此要求的話,

aarzbrv03/07 04:47該怎麼辦呢?還是先岔題幾個小時教非標準分析(哭哭)?

Stewart大概是說 你看 f(2.01), f(2.001),...這串數字有沒有好像趨近一個數?有齁?有的話就說 lim x-->2 f(x) = 那個數 。 我們來算幾個例子。 |x|很小的時候sin(x)/x難道沒有很接近1嗎?沒錯!它的極限就是1 然後開始算很多limit,然後再告訴你定義。 我不知道台大怎麼教,我希望沒有TA遇到有人問為什麼x/x在0的極限不是不存在。

※ 編輯: cmrafsts (78.94.133.138 德國), 03/07/2023 05:11:43

iampig95175303/07 05:40推 有人不知道這位是 數學卷哥

aarzbrv03/07 09:20感謝作者喚起了以前某些高中老師會舉的直觀例子,但看了

aarzbrv03/07 09:21https://gyo.tc/1XCyI https://gyo.tc/1XCyG 恐怕對高中

aarzbrv03/07 09:22沒碰過作者所舉的例子的大一學生相當緊湊呢……

aarzbrv03/07 09:39(可能某些人第一次淺嚐微分是在高中物理的運動學吧)

aarzbrv03/07 10:05https://gyo.tc/1XD3L 左網址像是十二年國教銜接普通高中

aarzbrv03/07 10:05課綱的最近版本吧……

Vulpix03/07 10:21我不是說先教積分……是教了積分以後才開始介紹e啦>"<

Vulpix03/07 10:23內容扎實的微積分課綱很緊湊,所以微積分其實是無論如何都

aarzbrv03/07 10:23回樓上:(@@双眼亮度皆為一千流明)

Vulpix03/07 10:27得在高中先教。覺得應該放e是因為一級反應、衰變和常態分

chualex6603/07 10:27推數學,看到第一行就昏了

Vulpix03/07 10:28佈。總之幫學生補一下洞吧。不然對e的理解停在「一個約

Vulpix03/07 10:292.71828的數字」實在很沒fu。

Vulpix03/07 10:31然後簽名檔會不會太狠?Galois 21歲就掛掉了吧?

aarzbrv03/07 10:33(樓上突破盲腸XD)

Vulpix03/07 10:44還有阿瑞尼士方程,甚至波茲曼分佈。高中ln的應用應該是

Vulpix03/07 10:44能斯特方程式吧。

aarzbrv03/07 11:07以前學習自然對數的底數遇到很多老師都是先從無限期數的

aarzbrv03/07 11:09複利收斂值切入,如果換成自己教別人,不容易想像如何先

Vulpix03/07 11:09連續複利跟(1+x/n)^n很搭啊。

aarzbrv03/07 11:10教積分再教自然對數的底數……

aarzbrv03/07 11:11(在下以上的「教」,主要針對許多沒預設動機的同學)

Vulpix03/07 11:13在講x^n的積分的時候,強調一下n不能是-1。就能勾起想唱反

Vulpix03/07 11:14調的人的表面動機了。

rey12312303/07 11:53我應用數學系畢業.. 我好爛