Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？

※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: 對小學生來說這個有點困難，因為小學生普遍沒什麼代數的概念
: 我比較建議擱置這問題。
: : 二、如果是對國中生說
: : 三、如果是對高中生說
: : 0.9bar = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ......
: : = 0.9 x 1 +
: : 0.9 x 0.1 +
: : 0.9 x 0.01 +
: : 0.9 x 0.001 + ......
: : = 0.9 x (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 +......)
: : = 0.9 x (1 / (1- 1/10 )) (無窮等比級數 懶得用sum寫)
: : = 0.9 x 10/9
: : = 1
: 你對國高中生說的話其實是一樣的
: 高中數學裡面，得出無窮等比級數和 = 首項/(1-公比)，
: 使用的手法就是你對國中生講的話
: : 四、如果是對比較強一點的高中生 ~ 有點數學背景的大學生
: 這間我們切入這問題的核心：什麼是0.9bar？
: 其實這問題我覺得沒有那麼trivial，因為即便到高中，
: 雖然大家操作無窮等比級數幾乎都手到擒來，
: 但其實大多數學生沒有好好想過那個"∞"在幹啥
: 對很多人來說，"0.9999999999999999......" 是一種感覺
: 「就是0.9 0.99 0.999 ... [email protected]#[email protected]#[email protected]#[email protected]#[email protected] .... 一直寫下去」
: 然後就不知道該怎麼描述了
: 其實我們幫這些直覺翻譯一下，會得到下面這結果
: 定義數列 An = 0.999...99 (小數點後面n個9)
: A1 = 0.9, A2 = 0.99, A3 = 0.999, ........
:
: 0.9bar = lim An
: n->∞
: 基於上面的描述，會得到 0.9bar = 1
: 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什麼樣子
: 如果對方無法定義自己心中的 0.9bar 卻還是堅持不等於1 ....
: 可能是腦袋剛好打結了
: 讓他看一下角卷綿芽的直播舒緩一下吧
: https://youtu.be/l6rlIOetkwg (現正直播中)
推ThousandSnow: 我是用反證法說服自己0.9bar=1，如果等號不
成立的話會出大事

看到這句話，我想起其實在高微或是實分析有時候想要證明相等或是=0
大概會用到這個敘述:
x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y
而這個敘述成立的證明，的確就是反證法:
(這裡用反證法)
Suppose x < y+εfor all ε > 0 and x>y
Then take ε= y-x > 0
Then x < y+(y-x)=x, -> <-
So, x≦y

(這裡不用反證法)
Coversely, suppose x≦y and let ε > 0
We consider
(i) x < y
Then x = x+0 < y+0 < y+ε
So, the relation holds when x < y

(ii) x = y
Then x = y+0 < y+ε
So, the relation holds when x = y

Since ε is arbitrary, x < y+εfor all ε > 0

如此一來就證明了這個結果

但這個結果其實我們也可以換個角度改寫:
x > y-εfor all ε > 0 if and only if x≧y

成立的理由非常簡單， x > y-ε <=> y < x+ε
那這個就只是把前面的結果x,y互換而已

所以可能會常常看到像是什麼|OOXX| < ε for all ε > 0
所以得到OOXX = 0這種東西

我相信你在處理這個會發生大事的過程，大約也是有用到這個概念...
但這個必須建立在對0.999.....9(m個，m可能很大，像是1000000000000000，但是是有限)和lim 0.9999...9(n個)能夠區分的前題下，這個論述才有意義
n->∞
0.999.....9(m個，m可能很大)是不是1? 當然不是
但取limit(也就是在符合epsilon-delta statement下的那個L)是1

lim 0.9999...9 本來就不是在說0.9999..9(m個，m可能很大)是多少
n->∞
因此在學極限時，不要把能在紙上寫出來的東西，當成是limit的值是很重要的

而x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y
這個性質看似不直覺和奇怪，倒是常常用來處理證明定理的其中一種方法

然後原問題其實是在討論所有質數的集合和自然數的集合的cardinality
解決方法就是要認識在無窮集的cardinality相等是怎麼定的(也就是存在一個bijection)然後去找every infinite subset of a countable infinite set is countable的證明
這樣就保證P和N之間有bijection了

這些其實你只要讀過像是 Discrete and Combinatorial Mathematics by Grimaldi
大概就知道怎麼回答這個問題，而這個也只需要大學部程度就可以了

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放棄，直接從PCman改成ANSI模式複製看來不行QQ

其實本來就是學術論壇吧... 只是近幾年風氣就...

這個其實我當初在學離散的時候，我也問過教授這個問題啊... 只是後來就慢慢接受了... 但這樣定的原因就是，原來有限集可以靠點出這個集合有多少個元素 但無窮的話... 就不能靠這件是判斷啦... 因為你沒辦法寫出有多少個，我這邊也不行.. 所以就想要用比較間接的方式處理囉... 像是bijection在有限集看起來就像是一樣多 那就把這個特性拿來無限集看看會發生什麼事 這種無窮無法互相比較在微積分就是以不定式的方式呈現 但cardinality本身和不定式也沒有直接關係就是了 只是這呈現了無窮和無窮比較，結果會有不同，所以叫做"不定"式

不知道我有沒有理解錯你的意思... 你可能想的是 <= 某個數的正整數集、質數集和有理樹集的個數誰比較多 那個這就是|P'|<= |N'| <= |Q'| 這沒有問題 (P',N',Q'表這個限制下的集合) 但這是因為在這個限制下P'、N'有限 Q'無限 所以看起來符合直覺 但全部都是無限集，就不能這樣比了(也就是誰是誰的子集合，甚至是真子集比較)