Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？

0.9bar = 1 ?

直接講結論: 是對的 也不是對的

至於如何"說明"(這邊先不用"證明"一詞)

就有幾個方法

一、如果是對小學生說

1÷3 = 1/3 = 0.3bar

=> 1÷3 x3 = 1/3 x3 = 0.3bar x3
= 3/3 = 0.9bar =1

二、如果是對國中生說

令x = 0.9bar

=> x = 0.9bar
10x = 9.9bar

10x-x = 9.9bar-0.9bar
=> 9x = 9
=> x = 1
=> 1 = 0.9bar

三、如果是對高中生說

0.9bar = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ......
= 0.9 x 1 +
0.9 x 0.1 +
0.9 x 0.01 +
0.9 x 0.001 + ......
= 0.9 x (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 +......)
= 0.9 x (1 / (1- 1/10 )) (無窮等比級數 懶得用sum寫)
= 0.9 x 10/9
= 1

四、如果是對比較強一點的高中生 ~ 有點數學背景的大學生

(會先去複習一下 然後)
會用有理區間套建構實數

並用Dedekind cut去加以建構及闡述

但無奈純粹用文字打太麻煩 加上我忘得差不多了 加上我懶得複習 這邊就先pass

不過說實話 做到這邊這種程度能理解大概也不會需要有人去證明了

五、如果是堅稱0.9bar 無論如何都比 1 少一點點

那我會這樣說:

「在實數線上 兩個點若重合 則沒有距離

　反之 兩個點若不相等 則必定存在距離

　那麼可以告訴我0.9bar跟1的距離為多少嗎?

　順便一提"0.0bar1" 這種表示方法在數學中並不存在呦 」

就這樣把問題丟回給對方 相信幾乎是回答不出來的 就算答出來也多半都有瑕疵

把瑕疵指出來之後對方還是不能接受就說
https://imgur.com/YgqfJKt.jpg

六、遇上國外攻博的系上卷哥直接在推文說:

其實0.9bar ~= 1 Q_Q

我好爛聽不懂 Q_Q

註: 前面幾個方法當然不嚴謹 不過只求更多人看得懂的科普向
如果想更了解 自然可以再去找更多資料

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欸都 在這種命題下討論非十進位制...應該是不太需要啦

師柳間酒