Re: [閒聊] 還是看不懂三門（蒙提霍爾）問題

※ 引述《lolic (白蝙蝠巴比特)》之銘言：
: https://i.imgur.com/uswIEJV.jpg

先複習一下題目
參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裏面有一輛汽車，選中裏面是汽車的那扇門，就可以贏得該輛汽車，另外兩扇門裏面則都是一隻綿羊。當參賽者選定了一扇門，主持人會開啟另一扇是綿羊的門；並問：「要不要換一扇門？」

這邊要講清楚相關事件的機率分布：
1. 三扇門有大獎的機率都是 1/3
2. 參賽者一開始選擇任意一扇門的機率都是1/3，跟大獎在哪扇門無關
(其實參賽者選門的機率分布可以隨意 這邊用1/3方便說明)
3. 如果參賽者選到大獎，主持人會任意選另外兩扇門的其中一扇打開
4. 如果參賽者沒選到大獎，主持人只會打開剩下兩扇終沒大獎的門

https://i.imgur.com/0KCY8UH.jpg

我們定義以下隨機變數，
W = 參賽者一開始選的門
T = 大獎位置
M = 主持人開的門
並且用數字 1,2,3 分別代表 第1扇門, 第2扇門, 第3扇門

所以黃字問題變成求 P(T=3|W=1, M=2) 的值

好囉 現在進入大家最喜愛的計算時間了！

P(T=3 | W=1, M=2) = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2) (貝式定理)

1. P(T=3) = P(大獎在第3扇門) = 1/3 (easy)

2. P(W=1, M= 2| T=3) = P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1)

P(W=1|T=3) = P(參賽者一開始選第1扇|大獎在第3扇門)

= 1/3 (參賽者一開始選哪一扇門跟大獎在哪一扇門沒關係)

P(M=2|T=3, W=1) = P(主持人打開第2扇門|大獎在第3扇，參賽者一開始選第1扇)

= 1

所以 P(W=1, M= 2| T=3) = 1/3 * 1 = 1/3

3. P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3)
( P(W=1, M=2, T=2) = 0 因為不可能大獎在第2扇主持人還開第2扇)

P(W=1, M=2, T=1) = P(T=1) * P(W=1|T=1) P(M=2|T=1, W=1)

= 1/3 * 1/3 * 1/2

P(W=1, M=2, T=3) = P(T=3) P(W=1|T=3) P(M=2|T=3, W=1)

= 1/3 * 1/3 * 1

所以 P(W=1, M=2) = P(W=1, M=2, T=1) + P(W=1, M=2, T=3)

= 1/3 * 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/3 * 1

= 1/6

讓我們把藍字部分全部兜起來！

P(T=3 | W=1, M=2) = P(W=1, M= 2| T=3) * P(T=3)/ P(W=1, M=2)

= 1/3 * 1/3 / (1/6)

= 2/3

換句話說，就是
參賽者選了第1扇門，主持人當他的面打開了第2扇門，
此時大獎在第3扇門的機率是 2/3

這樣子，當然要換囉！因為不換的話中獎機率就剩下1/3了

對羊有興趣的話，記得晚上8點來看可愛羊羊角卷綿芽的四周年Live!!!!
Link: https://www.youtube.com/watch?v=W6hZ1EYa37g

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鳳雛的清楚講習
https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg

改成綿羊好了

我這篇學術純度有87%以上吧

好像有道理耶 之後WTM如果徵求綿強沒錯題材我也嘗試投稿這個好了