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Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多?

看板C_Chat標題Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多?作者
comp2468
(ilikemiku)
時間推噓27 推:27 噓:0 →:133

※ 引述《E7lijah (InsfirE喚焰)》之銘言:
: ※ 引述《zax8419 (小火馬)》之銘言:
: : 直接說結論: 一樣多
: : 姑且身為一個有靠數學招搖撞騙的小廢廢 應該可以提供個簡單的解答
: : 但我知道西洽存在112數學系拿卷畢業 然後現在應該在國外讀博的版友
: : 偶而也有112數學系畢業 然後讀電機碩的版友
: : 相比之下我就只是個廢物Q_Q
: : 關於自然數與質數誰比較多 這個驗證方式應該分為兩個步驟
: : 1.質數是否為無限多個?
: : 2.若質數為無限多個 那質數與自然數如何比較?
: : 首先1.
: : 質數有無限多個。
: : 其證明方式非常簡單 用最基本的反證法即可
: : 因"質數有無限多個"與"質數為有限多個"為相反的命題
: : 故先假設"質數為有限多個"
: : 則我們可以從小到大 將所有質數編號 p_1,p_2,p_3......p_n p_n為最大的質數
: : 而若我們寫出一個大數N為所有質數的乘積
: : 則會發現N+1不能被以上所有的質數給整除(餘數皆為1)
: : 那麼就可以得出N+1亦為一個質數 且比p_n還要大 與最初的命題矛盾
: : 所以可以得知"質數有無限多個" Q.E.D
: : 再來2.
: : 無限多個的自然數 與 無限多個的質數 其數量一樣多
: : 非常簡單
: : 我們可以說
: : "第一個"自然數為1 "第一個"質數為2
: : "第二個"自然數為2 "第二個"質數為3
: : "第三個"自然數為3 "第三個"質數為5
: : ......
: : 以此類推
其實這個想法要寫的嚴謹一點還有點意思
你已經做出 "排序"這件事了

當然這裡很明顯的用大小來做排序了
其實已經用到
最小上界存在

最小上界存在 自然數與質數的集合中

排序這件事之後在有理數跟自然數的比較中
也可以用到
當然那時候排序就不會用大小這件事

這樣還是不夠證明二個個數是一樣的


: : 所有"第N個"自然數都可以對應到一個數 同時"第N個"質數亦可對應到一個數
: : 那麼儘管有點違反直覺 但實際上論"個數" 則自然數的個數與質數的個數是一樣多的: : 或者說 只要能找到任何一個無法同時存在有"第M個"自然數 但沒有"第M個"質數的狀況
這樣講的話 可以用強數學歸納法?
N=1的時候
自然數集合 |N 跟質數集合 |P
各自的最小下界inf 1 跟2 對應
將1跟2各自放進 一個集合 A_1 跟B_1
架構 N=2 的二個集合
是{a in |N but a not in A_1}
跟{n in |P but n not in B_1}
一樣各自取inf 做對應
N=M 時
N=M+1 一樣可以做
所以一樣?

其實沒有特別記得 這樣做行不行

: : 就能說自然數的個數 與 質數的個數不相同
: : 這種概念在所有的"可數集合"均成立
: : 進階一點就像"有理數的的個數"也與"正整數的個數"是一樣多的
: : 但是當命題拉到不是可數集合的時候 就不會那麼簡單了
: : 就像無理數的個數有無限多個 正整數的個數也有無限多個
: : 但無理數的個數卻是遠大於正整數的個數
: : 不過要去說明就懶了 大概也沒人在乎
: : 數學嘛 就是這麼反直覺 唉
歡迎成為 數學教徒(?)

: 其實你第一個證明有點瑕疵
: 令 N = 1 + p_1*p_2*...*p_k的作法
: 我能舉個反例:
: 1 + 2*3*5*7*11*13 = 30031 = 59*509
: 此時N可以表達成兩個不為{1,N}元素的自然數之乘積
: 不符合質數的定義,新造出的N不是質數
: 你當然可以說那我不管N了,此時59與509反而是你新發現的質數
: 但原本的證明敘述仍有瑕疵就是了
你看看別人的假設
要所有的質數
那59 509 這二個數對你來說是不是質數?
要說瑕疵也先把前提看清楚


: 有一個概念相似但比較嚴謹的證明:
: 同樣假設存在有限個質數p_1, p_2,..., p_i,..., p_k
: i屬於{1, 2,..., k}
: 則對於任何自然數n≧2
: 有p_i|n (p_i能整除n)
: 這邊需要一個引理:
: 若a|b,且a|c
: 則a|(b-c)
你的條件很明顯的不夠
b c 都是a的時候會成立嗎?
b c有額外條件吧?
b c 一樣的時候會成立嗎?

: 這個證明很簡單
: 令b = x*a
: c = y*a
: b-c = (x-y)*a,其中x,y皆為整數
: 得a|(b-c)
: 回到質數無限多個的證明
: 令n = 1 + p_1*...*p_i*...*p_k
: 可推得p_i|(n-1)
: 再結合前述的p_i|n
這條哪來的? 後面先不看
: 我們有p_i|[n-(n-1)]=1,即p_i|1
: 但p_i必定≧2,不可能整除1,明顯矛盾
: 得證質數的數量不可能有限,即質數有無限個
: 再回到質數跟自然數是否一樣多的問題
: 數學上比較兩個集合的個數大小,可以用一一對應原則
: 概念上就是班上有40個人,老師不需要從1數到40
: 只要視線快速掃過每個座位都有人,就能確認座位數=人數
: 令R跟S為某兩個集合
: 若你能找到一個一一對應關係使每個R的元素對應到S
: 則|R|≦|S| (|R|代表R集合的大小)
: 而當|R|≦|S|與|R|≧|S|同時成立時,
: 則|R|=|S|
: 也就是說你若能R→S和S→R兩個方向上都找到一一對應關係的話,
: 那麼R跟S這兩個集合的大小相同
: 以上敘述對有限集合與無限集合皆適用
: 現在我們令N為自然數集合,P為質數集合
: 明顯地,|P|≦|N|,每個質數都能對應到一個自然數
: 所以我們只需要證明每個自然數也能對應到一個質數,
: 就能說明質數的數量跟自然數一樣多
: 這可以用費馬數做證明:
: 第n個費馬數可以表達成
: F_n = 2^(2^n) + 1
: 已知任兩個費馬數皆互質,即任兩個費馬數的最大公因數是1,
: 也就是說任兩個費馬數必不會有共享的質因數
: 那麼對於每個費馬數F_n,我找出他最小的質因數P_n,
: 這個P_n必不等於其他費馬數F_m的最小質因數P_m
: 於是,對每個自然數n,我能對應到一個費馬數F_n,又再對應到一個質數P_n
: 我找到了將每個自然數都對應到一個質數的方法
: 所以|N|≦|P|
: 再結合|P|≦|N|
: 得證|P|=|N|,即質數的個數與自然數一樣多
: btw我也不是數學系,有誤煩請糾正

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克蘇魯?
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yang56083105/17 10:26他不就什麼都懂一點蹭一點= =

comp246805/17 10:31他說有錯請糾正 我就糾正了

※ 編輯: comp2468 (101.12.53.201 臺灣), 05/17/2023 10:31:38

E7lijah05/17 10:40嗯a|b那邊確實該加個b不等於c的條件,或不失一般性直接

E7lijah05/17 10:40令b>c 這樣b-c出來是正數比較好看

E7lijah05/17 10:41在這裡

E7lijah05/17 10:41則對於任何自然數n≧2

E7lijah05/17 10:41有p_i|n (p_i能整除n)

E7lijah05/17 10:4459跟509那個我也在推文討論了一下,就算此時最大的質數

E7lijah05/17 10:44是13,59是合數,那麼30031可以拆成兩個合數乘積,不也

E7lijah05/17 10:44有點奇怪嗎

cmrafsts05/17 10:44???你們為啥不在整數裡面做

comp246805/17 10:513樓,所以最大的質數不是13啊,你自己就是在舉反例了

Bugquan05/17 10:54你不就是要證明質數無窮多,你已經找到比原先那個還要大

Bugquan05/17 10:54的質數了啊

E7lijah05/17 10:54那對你來說此時比13更大的質數是什麼?

KaedeHondo05/17 10:54在原命題的假設下 當你做到13時就已經結束了 可以直

KaedeHondo05/17 10:54接Q.E.D 本來就沒有59是不是質數合數的問題

KaedeHondo05/17 10:54再往後討論下去就是連命題根本的定義都推翻 沒意義啊

E7lijah05/17 10:55不符合此時質數定義的59?509?還是可以被拆成兩個合數

E7lijah05/17 10:55乘積的30031?

E7lijah05/17 10:56喔等等你們的數線只到13嗎 13後面都沒有數字?

我以為妳只是一時轉不過來 原來是真不懂= = 你自己 "假設" 最大的質數是13好嗎? 那30031 不能被2~13的質數整除的時候其實證明就結束了 你只是又找了二個數 也不能被 2~13的質數整除 矛盾的點變多而已 然後最大的質數依舊不是13阿

storyo1141305/17 10:57當能找到不存在於假設集合的質數就足以證明質數無限

siro020705/17 10:59因為該原文已經假設13為最大的質數 那你拿出59 509不就

E7lijah05/17 11:00我的想法中,比較好的證明是無限個自然數中只有有限個質

E7lijah05/17 11:00數,自然數還是延伸至無限的,所以59 509 30031這些數依

E7lijah05/17 11:00然存在,只是它們當下不是定義中的質數

siro020705/17 11:00證明了13不為最大的質數? 按照這種方法 永遠都能找到更

siro020705/17 11:00大的兩個質數來整除

※ 編輯: comp2468 (59.124.14.100 臺灣), 05/17/2023 11:05:10

E7lijah05/17 11:01回siro,對啊 所以我在原文提供了59是新的質數的選項,

E7lijah05/17 11:01但此時就不是N=30031做為新的最大質數

所以你證明了你的假設是錯的 這不就是反證法?

※ 編輯: comp2468 (59.124.14.100 臺灣), 05/17/2023 11:06:13

KaedeHondo05/17 11:06要先回歸一個原點 反證法簡單說就是要在設定的命題下

KaedeHondo05/17 11:06找bug 根據原命題那就是”13是最大質數” 在此命題的

KaedeHondo05/17 11:06驗證模式下30031就該是一個質數 你”不能夠”去質因

KaedeHondo05/17 11:06數分解更往後的質數 不然就從根本否定原命題了

storyo1141305/17 11:0830031是不是真的質數不是重點也不是瑕疵 反例才重要

E7lijah05/17 11:10回Kae 我不需要“特地”做質因數分解 也就是說我不需要

E7lijah05/17 11:10將因數中的59 509指認為質數

E7lijah05/17 11:11這看來是要再開一篇解釋的節奏XD

你要試著做啊@@ 至少你要確認 2~13的質數不在質因數中就做完了 不過我建議你先了解一下條件跟證明@@

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 11:17:49

Bugquan05/17 11:13本來就沒跟你保證,這樣作出來的數是不是質數,只是如果

Bugquan05/17 11:13是質數,那它肯定比原本最大的質數還大,不是質數的做質

Bugquan05/17 11:13因數分解,你也肯定能找到比原本還大的質數

E7lijah05/17 11:14回原po最靠近這推文的編輯

E7lijah05/17 11:14對 我證明原來假設是錯的 是反證法沒錯

E7lijah05/17 11:14但發生矛盾的是59,不是30031,我就只是覺得原原po的證

E7lijah05/17 11:14法多補充一個可能性比較完整

你會說是59 就是你沒看懂他在證明什麼

storyo1141305/17 11:141 + p_1*p_2*...*p_k只是方便你快速了解這數無法整除

siro020705/17 11:15重點在於你30031不管是不是質數 他都不能被你原先假設的

siro020705/17 11:15"最大"質數13整除

siro020705/17 11:17不對 是不能被你假設的2~13質數整除

E7lijah05/17 11:17欸好吧看來大家還是不太懂我想講什麼 晚上回來再一篇XD

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 11:19:58

E7lijah05/17 11:21我先丟一句話是說,質數最初始的定義是不能被自己跟1以

E7lijah05/17 11:21外的數整除,那今天30031不能被2,...,13整除,但能被59

E7lijah05/17 11:21整除(此時59是作為「非質數」存在),那麼30031不符合質

E7lijah05/17 11:21數定義,這個證明「尚未」找到比13更大的質數

E7lijah05/17 11:22但我們都知道此時只要將新的質數候選人改成59,整個證明

E7lijah05/17 11:22就完成了

呃 所以你不知道所有合數可以寫成質數的乘積這件事嗎? 12=2^2*3 類似這樣 這是她證明的核心 所有比最大質數大的整數a 都應該可以寫成 a=p_1^n_1*p_2^n_2...p_m^n_m 其中 n_i, i in [1,m] 是大於等於0的整數

KaedeHondo05/17 11:24當30031無法被假設下”所有的質數”給整除時 就已經

KaedeHondo05/17 11:24該命題下是個質數了 去討論59就徹底失去反證法的意義

KaedeHondo05/17 11:24 那就直接說17、19 都是質數不是更快?

Bugquan05/17 11:26不是,你有沒真的找到59都沒差,因為這樣建構出來的,保

Bugquan05/17 11:26證你肯定會找到比原本還大的質數,至於那個數是啥不太重

Bugquan05/17 11:26

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 11:31:58

E7lijah05/17 11:29欸所以我想說的是 30031這個數 如果使用「可否被其他質

E7lijah05/17 11:29數整除」做質數定義的話,那他是(新的)質數,但如果使

E7lijah05/17 11:29用「可否被1跟自己以外的數整除」做質數定義的話,那它

E7lijah05/17 11:29不是新的質數,要另外展開

E7lijah05/17 11:30這個證法會被挑小毛病的地方就在質數的定義使用上,當然

E7lijah05/17 11:30可以死守我上句的第一個定義,只是像我這種怪人就會拿第

E7lijah05/17 11:30二個更基本的定義來檢查

storyo1141305/17 11:30探討1 + p_1*p_2*...*p_k是否為質數並非該證明的主題

E7lijah05/17 11:31所以使用這個證法比較無懈可擊的做法是像ae大貼的wiki條

E7lijah05/17 11:31目 分兩種情況討論 一定沒有問題

E7lijah05/17 11:34探討1 + p_1*p_2*...*p_k是否為質數 就是 這個證明的主

E7lijah05/17 11:34題,因為這個證明就是用我發現了1 + p_1*p_2*...*p_k這

E7lijah05/17 11:34個更大的「質數」做反證法矛盾點的依據

arcanite05/17 11:34所以說合數是什麼 = =

E7lijah05/17 11:36不是質數的整數啊

Bugquan05/17 11:37不是,是正整數,而且1既不是質數也不是合數

aegius1r05/17 11:37反正本來就得去補上 1 + p_1*p_2*...*p_k是合數時

aegius1r05/17 11:38造成矛盾的情況

E7lijah05/17 11:38應該說因數有1跟自己以外的數

E7lijah05/17 11:39的自然數

E7lijah05/17 11:40ae大你懂我QQ

E7lijah05/17 11:42總之我想講的差不多就是wiki歐幾里得定理條目寫的

那就不是反證法阿 他的證明跟歐幾里得的不一樣阿@@ 你們有在看ZAX的假設嗎? 他是已經找了一個最大質數p_n當上界 歐幾里得的是 任意有限個數的質數集合 所以她的證明中用到 如果 q不是質數, 那麼存在一個質數因子p p整除q 但所有p_1~p_n 都不能整除q 所以矛盾 p_1~p_n 在這裡的假設是 "所有"質數 歐幾里得的是任意有限個數的質數集合 前提有差啊 所以歐幾里得的假設會有 乘起來是不是質數的問題 因為他這裡不是指所有的質數 但ZAX的假設p_n是最大的 而且乘起來+1 一定大於p_n 所以只要p_1~p_n 都不能整除q就結束了 你們講的完全是不同東西好嗎@@?

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:02:35

XFarter05/17 11:48@E7lijah 看起來應該是正解,歐幾裡德定理確實沒有要求質

XFarter05/17 11:48數集 P 必定需是否有限,細節的證明還是去看 Wiki 歐幾里

XFarter05/17 11:48德定理

從他說出是反證法的時候就不是歐幾里得定理了@@ wiki上有說 不要搞混了 並不是證法相似就是一樣

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:08:08

zax841905/17 12:11我開始懷疑他在反串了....

zax841905/17 12:12然後我是數學前叛徒 也就是數學叛徒的叛徒Q_Q

我應該算被踢出來吧QQ 我一開始以為他只是有個點沒想通 我開始懷疑他根本不知道自己在講什麼 反串的話是高級反串 我被吊到了QQ

E7lijah05/17 12:12所以她的證明中用到

E7lijah05/17 12:12如果

E7lijah05/17 12:12q不是質數,

E7lijah05/17 12:12那麼存在一個質數因子p

E7lijah05/17 12:12p整除q

E7lijah05/17 12:12沒有喔 zax大的證明沒有上面這些話

E7lijah05/17 12:12這些話就是我覺得需要補充加上去的部分

對 他是沒有講 但跟你前面講的那些什麼合數乘積 是完全不同事情

mouscat05/17 12:12等等 既然1+p_1*p_2*…p_n這個數不為質數的可能只有「存

mouscat05/17 12:12在比p_n更大的質數」那無論這數是否為質數 元命題都能被

mouscat05/17 12:12推翻吧?我是不太懂啦

在原命題中 1+p_1*p_2*…p_n這個數不為質數 但產生矛盾 所以有最大質數不成立 所以是無上限的 可以一直創造出來

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:18:37

E7lijah05/17 12:21我講合數乘積是因為那時候59「還不是」質數啊XD 我們還沒

E7lijah05/17 12:21發現他是新的質數不是嗎

zax841905/17 12:21我只能說 你糾結的點完全對命題沒有任何影響 59完全不是

zax841905/17 12:21原命題討論的點 你的"反例"直接是建立在質數有無窮下 跟

zax841905/17 12:21原命題的質數最大值是13完全是不同的事

zax841905/17 12:22根據你的論點 我發現17,19,23,29都已經是質數 那我還假設

zax841905/17 12:22最大質數幹嘛?

zax841905/17 12:23在"有最大質數為13"的前提下 30031根據這個命題就會是質

zax841905/17 12:23數 哪管59的事?

他一直糾結在 那個數可以因式分解 很奇怪@@ 矛盾的點就在 q不是質數,那麼存在一個質數因子p p整除q 但你在這個假設會找到一個q找不到這個p 所以矛盾 根據反證法就是 無限大

XFarter05/17 12:23欸對欸 歐幾里德沒有使用反證法,它對於 1+all of p_i 的

XFarter05/17 12:23 T 和 F 所造成的結果都有後面的討論

XFarter05/17 12:23抱歉 我今天 JPTT 一直被卡登入 文章看一半==

Jptt今天真的一直斷 很奇怪1

E7lijah05/17 12:23那是數字小的時候你可以手動檢查啊 數字大的時候你用電

E7lijah05/17 12:23腦算都很難算

所以她架構一個數字 來證明不是嗎?

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:27:38

zax841905/17 12:24不如你說說怎麼用唯一的質因數表示法來表示30031

pot123405/17 12:24有限集合不處理最小上界不會被刁吧

XFarter05/17 12:24@E7 我覺得中文的歐幾里德 Wiki 寫的比英文的好懂不少,

XFarter05/17 12:24也許可以看一下

zax841905/17 12:24要記得前提是質數只到13喔

curance05/17 12:25學術論壇捏

mouscat05/17 12:29去考慮p_n+k的存在對反證命題的意義…我是說假如它存在

mouscat05/17 12:29那元命題就是錯的不用反證了 如果他不存在 本來的證明方

mouscat05/17 12:29法就沒問題不是?

應該說 在他的假設下 就是不存在 所以有那個證法證明矛盾

E7lijah05/17 12:29那我不用唯一的質因數分解表示30031,我就單純因數分解,

E7lijah05/17 12:29不限定因數須為質數

他的矛盾點就在 找不到那個唯一的質因數分解 所以我說你沒看懂

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:32:47

E7lijah05/17 12:30欸我先澄清 我沒有反對反證法本身 我是覺得反證法的矛盾

E7lijah05/17 12:30發生點需要多補充一句另一個可能

E7lijah05/17 12:31ptt今天一直斷+1 我用Pitt也是

zax841905/17 12:31不用唯一的質因數分解表示法...你要不要聽聽你在說什麼?

E7lijah05/17 12:32蛤 就不強求質因數分解啊 單純討論因數分解看他所有因數

E7lijah05/17 12:32不行嗎

E7lijah05/17 12:32所有因數中有不是自己跟1的就是合數啊 不是這樣嗎

zax841905/17 12:32所有數都能表示成唯一的質因數表示法 我以為這是國中的常

zax841905/17 12:32

zax841905/17 12:33如果真的做不到 那我想也無法討論下去了。

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:34:32

E7lijah05/17 12:34我沒有要討論做不做得到 我只是沒有要去做而已= =

E7lijah05/17 12:34我先用基本的因數分解不行嗎

storyo1141305/17 12:35E7最怪就是命題限定的東西不管 直接跳整體的因式分解

zax841905/17 12:35那你要不要先做了 再來說他是合數呢?

E7lijah05/17 12:35不是 我知道你們想幹嘛 你們想要用30031的質因數沒有2~13

E7lijah05/17 12:35,所以30031是新的質數

arrenwu05/17 12:36正整數那個在國中比較像神諭吧 國中有教算術基本定理嗎?

storyo1141305/17 12:36集合內的元素搞不定就是反證法成功了

E7lijah05/17 12:36這是質數的性質沒錯

aegius1r05/17 12:36要證這麼基本的東西 就不要再把"常識"搬出來了 用"定理"

其實也沒錯 應該把要用的定理引出來 或者直接證明也行 用強數學歸納法證明 2~N 都有質因數分解 所以假設N+1 = a*b 若存在 a b都是大於二的自然數 則 N+1 有質因數分解 a 的質因數分解*b的質因數分解 若a or b 只能是1 則N+1是質數 唯一的質因數分解就把二個質因數分解相除=1就可以證明

E7lijah05/17 12:38啊我想到了 30031用質因數分解定義來看是質數,用列出所

E7lijah05/17 12:38有因數分解來看是合數,發生矛盾,證畢 皆大歡喜

zax841905/17 12:39摁 你開心就好 記得如果有要教人 不要教別人這樣寫 我改

zax841905/17 12:39會扣分

E7lijah05/17 12:40好的教授

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:54:15

XFarter05/17 13:518要氣ㄅㄨㄅㄨ 證明不完備其實很常見,既然真的想討論雙

XFarter05/17 13:51方就不要用這麼多情緒化用詞。

XFarter05/17 13:51不過我真的覺得 E7 可以發文解釋一下你的方法覺得對的理

XFarter05/17 13:51由,最好比較一下歐幾里德定理跟你的差別,不然很難服眾

我剛剛認真看了一下後續 發現他的前提就是錯的

: 有一個概念相似但比較嚴謹的證明: : 同樣假設存在有限個質數p_1, p_2,..., p_i,..., p_k : i屬於{1, 2,..., k} : 則對於任何自然數n≧2 : 有p_i|n (p_i能整除n)

抱歉 沒這引理 除非你假設 那些是所有的質數 他要講歐幾里德定理的話就不能用這個引理證明 不然他自己的反例就是這個引理的反例阿

※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 14:06:56

XFarter05/17 14:25上面的假設其實沒有 Quantifier 讀的也蠻痛苦的,但我決

XFarter05/17 14:25定還是維持吃瓜就好了==

XFarter05/17 14:25我指 E7 的原文

Hosimati05/17 18:37zax的證明不就矛盾的部分沒有寫仔細而已,怎麼這麼糾結

zax841905/17 21:05我是知道我寫的沒有很完整 不過本來就打算寫科普簡略向

zax841905/17 21:05只不過不完整的部分絕對不是合數部分就是了

就是沒講質因數分解存在且唯一這個而已@@

※ 編輯: comp2468 (203.204.43.142 臺灣), 05/17/2023 22:44:37